Cho dù đó là hiện tượng vật lý, giá cổ phiếu hay mô hình khí hậu, nhiều quá trình động trong thế giới của chúng ta có thể được mô tả bằng toán học với sự trợ giúp của các phương trình vi phân từng phần.
Tính ngẫu nhiên - một lĩnh vực toán học liên quan đến xác suất - đóng vai trò lớn trong các quá trình này. Vậy nên các nhà nghiên cứu đã nghiên cứu trong vài thập kỷ và đặt tên cho nó là phương trình vi phân từng phần ngẫu nhiên.
Làm việc cùng với các nhà nghiên cứu khác, Tiến sĩ Markus Tempelmayr tại Nhóm Toán học Xuất sắc Münster tại Đại học Münster (Đức) đã tìm ra một phương pháp giúp giải một lớp nhất định của các phương trình như vậy. Kết quả đã được công bố trên tạp chí Inventiones mathematicae .
 |
Tiến sĩ Markus Tempelmayr - Đại học Münster (Đức) |
Cơ sở cho công việc của họ là lý thuyết của Giáo sư Martin Hairer, người nhận Huy chương Fields, được phát triển vào năm 2014 cùng với các đồng nghiệp quốc tế. Nó được coi là một bước đột phá lớn trong lĩnh vực nghiên cứu phương trình vi phân từng phần ngẫu nhiên đơn. Tempelmayr giải thích: “Cho đến thời điểm đó, việc giải các phương trình này vẫn còn là điều bí ẩn. Lý thuyết mới đã cung cấp một ‘hộp công cụ’ hoàn chỉnh, có thể nói, về cách giải các phương trình như vậy.”
Vấn đề là lý thuyết này tương đối phức tạp, dẫn đến việc áp dụng 'hộp công cụ' và điều chỉnh nó cho phù hợp với các tình huống khác đôi khi rất khó khăn.
Vì vậy, trong công việc của mình, nhóm học giả đã xem xét các khía cạnh của 'hộp công cụ' từ một góc nhìn khác, đồng thời tìm ra và chứng minh một phương pháp có thể được sử dụng dễ dàng và linh hoạt hơn."
 |
Markus Tempelmayr trình bày nghiên cứu của mình trước Nhóm Toán học Xuất sắc Münster. |
Nghiên cứu trong đó Tempelmayr tham gia với tư cách là nghiên cứu sinh tiến sĩ dưới sự chỉ đạo của Giáo sư Felix Otto tại Viện Toán học trong Khoa học Max Planck, được xuất bản vào năm 2021 dưới dạng bản in trước. Kể từ đó, một số nhóm nghiên cứu đã áp dụng thành công phương pháp thay thế này trong công việc nghiên cứu của mình.
Các phương trình vi phân từng phần ngẫu nhiên có thể được sử dụng để mô hình hóa một loạt các quá trình động, ví dụ, sự phát triển bề mặt của vi khuẩn, sự tiến hóa của màng chất lỏng mỏng hoặc mô hình hạt tương tác trong từ tính. Tuy nhiên, những lĩnh vực ứng dụng cụ thể này không có vai trò gì trong nghiên cứu cơ bản trong toán học vì bất kể chúng là gì, nó luôn luôn có cùng một loại phương trình có liên quan.
Các nhà toán học đang tập trung vào việc giải các phương trình bất chấp các số hạng ngẫu nhiên và những thách thức nảy sinh như tần số chồng chéo dẫn đến hiện tượng cộng hưởng.
Nhiều kỹ thuật khác nhau được sử dụng cho mục đích này. Trong lý thuyết của Hairer, các phương pháp được sử dụng để tạo ra sơ đồ cây minh họa. Tempelmayr giải thích: “Ở đây, các công cụ được áp dụng từ các lĩnh vực phân tích ngẫu nhiên, đại số và tổ hợp”. Thay vào đó, ông và các đồng nghiệp đã lựa chọn một phương pháp phân tích. Điều khiến họ đặc biệt quan tâm là câu hỏi nghiệm của phương trình thay đổi như thế nào nếu quá trình ngẫu nhiên cơ bản thay đổi một chút.
Cách tiếp cận mà họ thực hiện không phải là giải trực tiếp các nghiệm của các phương trình vi phân từng phần phức tạp mà thay vào đó là giải nhiều phương trình đơn giản khác nhau và chứng minh những phát biểu nhất định về chúng.
Sau đó, nghiệm của các phương trình đơn giản có thể được kết hợp - có thể nói là cộng lại một cách đơn giản - để đi đến nghiệm của phương trình phức tạp mà chúng ta thực sự quan tâm.
